引力波——跨越百年的奋斗

前言
这篇文章写于两年前,基于「PAGE SEVEN 胡先笙」《真正了解引力波》的系列播客,说它是其「文字版」都不为过。在此特别感谢胡先笙的贡献。


「色即是空,空即是色」。这话几乎每个中国人都听过,但真正明白是什么意思的恐怕没几个。「色」是实相,我们天天感受到的东西无非就是「色受想行识」这「五蕴」的组合;「空」不是没有的意思,而是「无自性」。无自性意思就是没有它固有的性质。你眼前的这块屏幕,可以是屏幕,也可以是数以万计的晶体管,也可以是无数的原子。今天这是块好屏幕,明天摔坏了,就成了垃圾,后天被重新加工,可能又成了好用的屏幕。没有什么是固定不变的。这就是「空」。

为什么以这个佛学概念开始漫长的引力波之旅呢?因为我们会发现,人类对于宇宙万事万物的认识是不断变化的。对同样的现象,千年前,百年前,几十年前和现在的认识可能完全不同。很多人觉得科学就应该给出一个明确的答案。但事实上,科学是最难给出明确答案的。因为科学的进步,乃至学术的进步,靠的是踩在前人的肩膀,打破原来的定见。这暗合了「空」的思想,很妙是不是?

在接下来的一万多字内容中,很多物理概念理论可能会一次次冲击你的固有观念。请牢记「空」,不然你无法理解什么是光、时间、空间。

「我们发现了引力波」
2016年2月11日,The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory(LIGO)宣布:「我们发现了引力波。我们发现了。」准确地讲,LIGO 在2015年的9月14日,中午11点(中欧时间)发现了引力波的信号。

Marco Drago,一位32岁的意大利籍博士后学生,全球 LIGO 科学合作组织的成员,成为第一个注意到它们的人。Marco 当时坐在位于德国 Hannover 阿尔伯特·爱因斯坦研究所他自己的电脑前,远程观看 LIGO 的数据。引力波出现在他的屏幕上,就像一个被压缩了的曲线。 LIGO 装置着全宇宙最精致的耳朵,可以听到千亿分之一英尺的振动,应该仿佛听到了被天文学家称为「蛐蛐叫」的声音 —— 一声微弱的由低到高的呼叫。

之所以时隔半年才把这一发现公布,是怕闹出乌龙事件。这一发现的结果经历了四遍验证,在没有正式确认之前,所有成员要求宣誓保守秘密。

这样的谨慎是需要的。因为曾经发生过内部成员(实际上是团队内部特意安排的一个四人小组)恶作剧制造出假引力波信号的事情,其他探测引力波的组织也曾误将宇宙尘埃的扰动当成宇宙原初大爆炸的信号。非常的发现需要非常的证据,反复验证后,LIGO 相信,他们发现的确实是13亿年前两个黑洞合并形成的引力波。

他们这样认定的主要依据是,他们在两个相隔3000公里的探测器同时接收到了相同波形的信号。但这不够,需要其他更多的数据分析才行。他们检测了设备的每一个部件,分析了所用系统的每一行代码,编辑了一个单子以列出所有可能的环境干扰,从大气电离层的振荡到太平洋沿岸的地震,甚至连当时发生在非洲的大闪电。最后,他们确认了这个探测结果满足统计学的五个西格玛门槛,这是宣布任何物理学发现的黄金标准。换句话说,这意味着这个探测结果只有350万分之一的概率是由随机事件造成的。

这次发现的引力波来自于两个黑洞的合并。一个黑洞质量相当于29个太阳;另一个相当于36个太阳;合并后,新黑洞相当于62个太阳。你可能会问了,还有3个太阳哪里去了?他们变成引力波释放掉了。爱因斯坦的质能方程告诉我们 E=MC^2。C 是光速,所以这个能量大到语言无法描述。

引力波究竟是什么?准确的定义是「四维时空曲率的扰动,以行进波向外传播的方式」。一般科普文章会介绍引力波是「时空弯曲中的涟漪,通过波的形式从辐射源向外传播。」

时空为什么会弯曲,这个涉及到相对论中最高深的部分,先按下不表。但描述引力波其实不难。想象两个皮球放在平静的水面上,这时候大家相安无事。如果让它们绕着转,就会形成阵阵涟漪。这个涟漪,就相当于引力波。引力波既然那么强,那要探测起来应该不难吧,看看物体的形变就能看出来不是?可是引力波随着距离不断衰减,经过13亿光年后,也不剩什么了。小到什么程度呢?相当于一颗氢原子撞在你身上造成的变形……的500亿分之一。

如此细微的扰动怎么侦测?最简单的方法,就是把探测器造得大一点,再大一点。因为越大,受到的形变也会越大。LIGO 造了两个4公里长的探测仪,终于把形变的程度提高到了几千万分之一。

虽然这个数字看完还是会有深深的无力感,但他们已经尽力了,因为这东西太贵了,需要1990年时代的2.72亿美元,其中光一面镜子就需要100万美元。很多科学家强烈反对这个烧钱的项目,觉得它会吸干其他项目的经费。而且,他们所需要的真空技术、激光技术、材料科学技术、地震隔离技术还有反馈系统,都高出当时科技水平几个数量级。除了技术,整个科研团队规模也相当惊人。在宣布引力波发现的论文(《Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger
》)中,16页的文章参考文献占了2页,作者姓名(还是缩写版本)占了3页,合作科研机构占了3页(133家)。可想而知,这项目不算设备,光看人工也不得了。

经过漫长的游说,钱终于批下来了。花了两年时间,他们终于造出了历史上最敏感的设备,光抽成真空状态就需要40天,结果是造出了地球上最纯净的真空环境,只有大气海平面浓度的万亿分之一。它如此纯净,以至于设备内部原子的不稳定,遥远的闪电,供电系统的波动,郊野的狼嚎都会探测到。LIGO 需要一一调试并辅助于其他子系统以减少设备误判。经过数以万计次的调试,他们终于可以做到在隔壁启动哈雷摩托车,监视屏上什么也看不到的程度了。

这个精密仪器的工作原理有点像托马斯·杨的双缝干涉实验:观测者通过观测波形的变化来判断是否有扰动。LIGO 在 L 形状的拐弯处放置激光源。激光源会向两个管子的尾部发射两束激光,在各自尾部会放置一个镜子来反射激光。光在真空中的速度是常数,所以当两个管子都去除了空气和其他粒子后光束应该同时在拐弯处重逢,除非引力波通过这个结构。在这种情况下,光源和镜子间的距离会有小的变化。既然一束光现在会旅行比它孪生伙伴更短的距离,它们不再会在相位上保持一致,差距越大,表明引力波越强。

这个天才的想法是 Rainer Weiss 在1972年的论文中提出。它被 Kip Thorne,参与电影《星际穿越》的科学顾问,称为「历史上最优秀的一篇论文」。

时空观
牛顿的绝对时空观
引力波,从其名可知,与引力相关。如果要谈引力,我们不可能绕开万有引力的缔造者,17世纪诞生的,人类历史上最伟大的科学家艾萨克·牛顿。不过,直接讨论牛顿的万有引力理论不是我们这次旅程的起点,我们先要从牛顿的时空观谈起。

在中学物理中,我们花了几乎大半的时间在学习牛顿经典物理学知识。他的理论简洁优美又极富解释力,更重要的是,他的理论非常直观,被后人奉为圭臬数百年之久自有道理。

牛顿对时间和空间的观念概括起来有三点:

  1. 时间绝对性:时间是独立存在,均匀流逝的,没有起点也没有终点。
  2. 空间绝对性:空间是独立存在的,不依赖于任何物体。
  3. 时空不相关:时间和空间互不影响。

非常容易理解是不是?北京时间在北京成立,在南京也行得通。一个房间有人住它在,没人住它也在。走在路上的你看时间和坐在车里的你看到的时间,都是一样的。

现代物理学不是亚里士多德时期的形而上学,需要证明。所以即便是如此常识,牛顿也没轻视,照样试着证明。他先试图解决绝对空间的问题。

我们知道物体运动是相对的。你坐车上,觉得自己没动,其实是相对于车没动。路上的人觉得你在动,是因为在车里的你相对于路上的人在动。其实这就是「参照物」不同带来的不同。同理,如果「绝对空间」存在,那肯定有相对于绝对空间的运动,就叫「绝对运动」。如果我们能找到一种绝对运动,不依赖于任何参照物,不就等于证明了绝对空间了吗?

于是牛顿用一个「水桶实验」证明了绝对空间:

如果用长绳吊一水桶,让它旋转至绳扭紧,然后将水注入,水与桶都暂处于静止之中。再以另一力突然使桶沿反方向旋转,当绳子完全放松时,桶的运动还会维持一段时间;水的表面起初是平的,和桶开始旋转时一样。但是后来,当桶逐渐把运动传递给水,使水也开始旋转。于是可以看到水渐渐地脱离其中心而沿桶壁上升形成凹状。运动越快,水升得越高。直到最后,水与桶的转速一致,水面即呈相对静止。

 

实验描述与我们的生活经验完全符合,但这怎么就成为了绝对空间存在的证明了呢?

牛顿是这么解释的:刚开始转的时候,水还没来得及和桶壁一起转,因此水面是静止的。等回过神来(因为摩擦力的原因),就一起转了,于是形成凹面。但为什么大家转得一样快了,水理应和桶相对静止,还有凹面呢?这说明水相对于「绝对空间」在运动。

这是错的!

但一百年之内,没人敢这么吼。直到一个叫马赫的人才提出了新的解释。这个解释,深深影响了提出引力波的人。

在细说牛顿的绝对空间观为何错了之前我想先多罗列几个牛顿的错误。牛顿的历史地位虽然无可争议,但现代物理学的诸多成就都建立在摧毁牛顿经典理论的基础上。既然牛顿的理论非常直观,那么现代物理学家就是要告诉你,直观是不可靠的。我们接着来说另一个无比违反直观的物质——光。

绝对速度的光——是波还是粒子?
速度是相对的,运动是绝对的。重点在于参照系,这道理上过中学的人都明白。我们都听说光的速度是每秒30万公里(fn)。那这个速度理应也是相对速度是不是?换句话说,假如我们顺着光的方向跑,那么我们感觉到光的相对速度应该比这个速度慢一点,哪怕只慢一点点。

颠覆三观的来了:实际上,随便你怎么跑,光速永远永远都是那个速度。哪怕你跑得快到接近于光速(没有什么有静止质量的物质能够达到光速),你感觉到的光还是30万公里每秒。嗯,「光速是绝对的」。

这怎么可能?

别急,让我们先回到一千年前的宋朝寻找一个帮你理解的案例。《宋史·天文志》中记载:「至和元年五月己丑,出天关东南可数寸,岁余稍没。」这说的是发生在1054年7月4日人类观察到的一次超新星爆炸。当时的宋朝人看到天空非常强烈的光亮持续了23天,连白天都能看见。之后的22个月,光亮逐渐减弱。

超新星爆炸后发出的光向四面八方飞去,速度都是30万公里。按照常识来想,朝向地球的光应该先到,背对着地球的光应该后到是不是?超新星爆炸的速度是每秒1500公里。也就是说,正对着地球的光速和背对着地球的光速相差每秒3000公里。这个超新星距离地球5000光年(fn),把这个每秒3000公里的速度差考虑进去,我们会算出:最快的光和最慢的光到达地球时间相差50年。换言之,宋朝人应该能看到超新星爆炸整整50年,而非22个月。

怎么办?唯一的解释只能是光速是不变的。但为什么光的速度不变呢?

牛顿认为,光是光粒子组成。因此光能够反射和折射。但惠更斯、胡克等人认为,光是一种波,因此有衍射和干涉的性质。两拨人闹得不可开交也没分出胜负。如果光是一种波,那么光速不变的问题也能解释了,因为波的速度和波源没有关系。

但光的「波动说」有一个致命问题——介质。如果光是粒子,在宇宙真空传播没有问题。但如果是没有介质的波,你怎么传播?

为了填这个坑,当时的物理学家提出了一个臭名昭著的概念:以太(Ether)。他们说以太这东西无处不在,无色无味,与任何物质不发生作用,又绝对静止。而以太就是真空中传播光的介质。根据奥卡姆剃刀原则,这样的东西原本应该没资格存在的,但为了解释波动说,物理学家们也是管不了那么多了。而且以太和牛顿的绝对空间说款曲相通,说什么也要证实。很奇怪是不是?他们反对的是牛顿的光粒说,但最终是为了维护牛顿绝对空间观的大厦屹立不倒。

1887年,迈克尔逊和莫雷两人设计了一个原理简单但很精巧的实验(Michelson-Morley Experiment),用以证明以太的存在。他们用的原理是,用不同方向的光速差反推以太相对于地球的速度。具体做法不用太介意,重点是结果。

结果令人大跌眼镜:他们算了半天发现,地球相对于那个以太没有在运动!

怎么解释这个结果呢?无非三条路:

  1. 地球和以太一起同速度动:但这个不行啊,因为我们定义以太的时候就说它绝对静止。这样岂不是矛盾了?
  2. 地球和以太都绝对静止:这个解释更离谱。这么说,太阳月亮全宇宙都绕着地球转?哥白尼当场哭倒在厕所。
  3. 根本没以太:那光波如何传播?若光不是波而是粒子,那为什么速度不变呢?

都是死路,怎么办?

20世纪初,瑞士专利局小青年阿尔伯特·爱因斯坦受到洛伦兹变换和百年后批判牛顿绝对时空观的物理学家马赫的启发,提出了解决方案:只要认定光速不变,所有的矛盾都解开了。准确地说是,无论在任何观测参照系下,光速都不变。

但我们怎么证实这个说法呢?人人都听说过,但没多少人懂的《狭义相对论》就这样横空出世了。

爱因斯坦的时空观
我们做个思想实验。先来看看这个中学物理公式:

V=S/T (速度=位移/时间)

有个人在街上看一辆车以每小时50公里时速匀速开过,看到另一个人骑着自行车朝同方向匀速前进,时速40公里。所以骑车人觉得公交车车速是10公里每小时。照着公式来解释就是:所有人感受到的时间(T)是一样的,但因为参照系不同,所以位移(S)不同,因此感觉到速度(V)也不一样。

接下来,我们让这辆车换成「光」。我们也知道结果,路边人和骑车人相对于光的位移(S)是不同的,感觉到的光速(V)又是一样的。那么,只能是……

时间(T)变了。

时间和空间联系在了一起,牛顿的绝对时空观正式宣告崩塌,爱因斯坦彻底颠覆了人类看待时空的观念。

牛顿的引力观
讲完时空,开始要讲引力了。讲引力之前,我们要先讲什么是「力」。

亚里士多德觉得,物体运动就是因为力。这说法咋一听有道理,但细想想有没道理:我在吧台上持续推一个杯子,它固然会动;但如果使一下劲,它还是会往前划一段距离。那杯子滑动的时候,到底是用力了还是没用力呢?

所以聪明的牛顿提出,力的作用不决定运动的速度,而是改变了物体运动的速度,于是他引入了「加速度」的概念。

F=MA (速度=质量*加速度)

看这个公式就能发现,M=F/A。即,如果力给定,质量越大,加速度越小。也就是说,面对一个质量大的东西,你不多使劲,它就动不快。最通俗的话来讲,就是比较懒嘛。用物理学的用词,这叫「惯性」,因为有惯性,所以杯子在吧台会划一段距离。

在这个语境下的质量,叫「惯性质量」。

除了「惯性质量」以外,还有一种质量,叫「引力质量」。这种质量我们更熟悉,因为天天称体重的就是引力质量。从亚里士多德开始,人类就认定,重量越大的东西落地越快(这样的描述不精确,但相信大家能明白我的意思)。但现在我们都知道,这是不对的。这个洞见归功于伽利略和牛顿。伽利略第一个发现了自由落体的速度和物体本身速度无关,而牛顿的厉害之处是提出了引力作用是相互的。你和地球在互相吸引,而且这个力是一样大的,甚至他还给出公式能算出来。

说到这儿,需要强调一下「惯性质量」和「引力质量」的关系了——他们没直接关系。惯性质量描述的是物体有多懒(惯性),如果没有外力存在,就无法表现出;而引力质量描述的是物体的吸引力,你看不看他,他反正就在那里。

既然没有关系,为什么还要起相似的名字?其中必有道理。

道理是:牛顿把他们连起来了。

牛顿为了解释为什么物体下落地球的速度与物体质量无关,他把之前两个公式连在一起:他认为,在自由落体状态时,物体所受的重力就是起惯性运动时所受的力。于是,等式两边的 m(物体质量)就消掉了。因此从等式可以发现,自由落体的速度与质量无关。

如果你在读书时觉得这说法牵强,那么恭喜你,你拥有了独立思考能力。如果你开始钻研其中的问题,那么你进入了物理学家的思维模式。如果你解决了这个问题,那么恭喜你,你成为了爱因斯坦。

给没明白我说什么的同学解释一下。我们之前说了,惯性质量和引力质量是两个东西,顶多大家都用了同一个字母 m 来表示,但不等于两个就能同时约去啊。你牛顿凭什么这么做?牛顿老老实实地回答:「如果不能约,就没法解释伽利略的发现了。」

不带这么玩的!算不出你就硬凑啊?

是的。牛顿自己也没法很好地解释引力究竟是个什么东西。平时我们使的机械力很好理解,提拉推拽,看得明明白白。可引力看不见摸不着,怎么就存在呢?但牛顿偏偏用这么完美的引力公式预言了从天入地的各种现象,让人不得不服。难道没有牛顿解释不了的吗?

有,比如「水星近日点进动问题」。

当时科学家在观察水星的时候,发现它的轨道和用牛顿公式算出来不一样,有点偏差。于是大家肯定,我们一定是没发现水星附近有其他的星球,影响了水星的轨道。只要用牛顿公式算一算,就能找到这个星体的轨道,望远镜朝那个方向找,一定能找到。

这样的事情以前成功过,海王星就是这么发现的。想想人类第一次用牛顿的公式算出一颗星的存在,可不激动坏了?于是这次故伎重演,想再算出一颗来。可结果怎么找都找不到。这问题让科学家们头痛了将近60年。

从欧几里得到闵可夫斯基
之前讲的东西需要的物理数学大概就是初中的水平,接下来我们要进入高中大学的程度了。过手如登山,一步一重天。

从最简单的欧几里得空间讲起。我们中学学的平面几何、立体几何,都是欧几里得体系下的。初中知识告诉我们,在一个二维空间平面中,点 a 坐标为 (x, y),它距离原点距离 s 的计算公式用的是勾股定理:

S^2 = x^2 + y^2

坐标中两点 a (x1, y1); b (x2, y2) 的距离 s,也是用同样的方法,利用两点坐标的差值进行勾股定理计算:

S^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2

如果是在立体直角坐标系中,这个公式就是再加一个纵轴 z 的坐标而已。这里就不啰嗦了。

如果大家对高中数学有印象的话,为了简化,我们把坐标轴相减记作符号 Δ (delta),也就是写成:

S^2 = Δx^2 + Δy^2 + Δz^2

如果两点的距离特别近的话,我们把 Δ 改写成 d:

S^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2

如果学过高等数学,就知道这是微分了。微分,顾名思义,指的是特别微小的意思。哪怕没学过高数的人也没关系,就是个符号,代表一种意思而已。之所以要特别拿出来说,是因为之后有大用处。

伽利略变换
在迈克尔逊-莫雷实验(Michelson-Morley Experiment)之前,地球人都觉得伽利略变换正确又符合实际。拿个例子来解释他的这套理论:

假设火车匀速运动时,对面有一辆汽车朝反方向以 v 的速度匀速驶来。铁轨边有个观测者甲,而火车里有个观测者乙。

在观测者甲看来,汽车的坐标是 (x, y, z, t);而在乙看来,汽车的坐标是 (x’, y’, z’, t’)。

之所以会有一个 t 的参数,是因为货车汽车都在动,在火车上的人感觉汽车的距离比起在地上站着的人的感觉肯定更近,所以同样的汽车,在不同的参照系下的坐标是不一样的。两个坐标的关系是这样一组等式:

 x’ = x – vt
y’ = y
z’ = z
t’ = t

解释一下,因为在伽利略看来,两车在纵轴和垂直的 z 轴都没变化,而时间也没变化,只有在横轴上有个速度差造成的变化,所以列出了这个等式。

相信你现在会意识到这个想法的错误之处了——没错!时间会随着速度而发生变化。

迈克尔逊-莫雷实验(Michelson-Morley Experiment)的结果太过颠覆三观,当时物理理论无法解释。后来洛伦兹站出来,提出任何物体相对于以太(那个子虚乌有的东西,还记得吗?)的运动中,其长度都会收缩,于是就能解释了。这个数值他算出的是:

这是个不得了的观点。它意味着,我扔出一支铅笔的时候,铅笔会缩短!

然而,洛伦兹没敢这么想,他觉得自己就是拿着实验结果硬凑出这个数值。但爱因斯坦看了之后,放弃了以太的概念。直接就想到了狭义相对论的基础。

大家来看一下洛伦兹变换的公式。它比较复杂,看不懂没关系,主要听公式的意义:

如果你把它和伽利略变换并置起来看,会发现,假如汽车的速度 v 相对于光速 c 很小,那 v/c^2 数值就几乎可以等价于 1,于是等式就是伽利略变换中 x 的等式。这也解释了为什么我们平时生活中感觉不到物体的变化。

在最后一个等式中,时间不仅和物体相对速度,以及光速有关系,连横轴 x 轴也掺进了一脚。这意味着什么呢?就是这支飞出去的笔本身所在的行进路线也有了变化。整个 x 轴都缩短了,在前面的例子中,铁轨在路边观测者甲眼中缩短了,那在铁轨上的火车当然也相应缩短了。不过在火车上的乙不会觉得有什么变化。

这样神奇的效应物理学上叫「长度收缩效应(Length contract effect)」,也叫「尺缩效应」。

徒欲敬而师不待
爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学读书的时候不算是个好学生,上数学课不听,研究物理。他的老师赫尔曼·闵可夫斯基对这个年轻人很不满意。没想到爱因斯坦毕业后提出了狭义相对论,老师饶有兴趣地拿起论文看,发现这个年轻人想法新颖,但是数学功底不行(还是因为没好好听自己的课),写出的公式缺乏美感,所以自己动手,帮忙美化了一下:

对比一下之前提到的公式:S^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2,是不是长得很像?

在闵可夫斯基空间中,时间和空间是会随着速度变化而变化的,所以该空间里两点的距离也是会变的。这个当然是爱因斯坦的发现,只不过爱因斯坦从洛伦兹变幻中推导出的公式虽然看得懂,但不够简洁。闵可夫斯基老师把传统 x, y, z 三轴的数值给固定下来,赋予 x1, x2, x3,接着把时间轴 t 变幻成 x4,并推算出一个固定系数 ic。c 是光速,i 是虚数单位(-1 开根号的值)。

瞧,整个公式简洁优美,就像从传统伽利略,牛顿时代的延展和传承,自然却又内涵颠覆性,看着回味无穷。

可当时爱因斯坦不是这么想的。他觉得你折腾来折腾去,不还是一回事?这想法很像数学不好的同学吐槽有太多公式要记的说法是吧?

四年后,当爱因斯坦打算攻坚广义相对论时,发现如果没有老师的这套闵可夫斯基空间公式,自己根本不可能做得下去。当他意识到其价值时,老师已经去世了。

爱因斯坦擦干眼泪,创造了进军广义相对论的第一个概念,度规(metric)。度规,就是度量的规矩,这当然是通俗讲法。在欧几里得空间中,度规就是之前写的那个两点距离公式的微分写法;在闵可夫斯基空间里,度规就是刚刚那个优美的公式。

提出这个概念想说的是,欧几里得或是闵可夫斯基空间其实都还是简单的,因为时间轴和空间轴都是自己和自己算,没有 xyz 混在一起。然而,进入了广义相对论之后,更加奇怪的事情将会发生:空间会弯曲,时间会变形,轴和轴会搅在一起。复杂程度之高,连爱因斯坦这种不世出的天才都差点被其打败,幸好后来又贵人相助才成就其旷世伟业。这都是后话,我们先谈广义相对论。

战术大师如何开打广义相对论
为什么要有广义相对论
狭义相对论,顾名思义,就是比较狭隘的一种理论。广义相对论,就是跟广泛的理论。爱因斯坦提出狭义相对论后,一开始大家觉得这人提出的理论过于离奇,不以为然。后来的实验结果不断地验证着狭义相对论的预测,大家就对爱因斯坦顶礼膜拜了。可是爱因斯坦本人对自己这套理论依然不满,因为他知道这个理论有缺陷。

在狭义相对论中,有两个基本假设:一个是光速不变;二是在所有惯性系中,物理定律的形式是一样的,简称「狭义相对性原理」。

第一条我们很熟悉了,第二条涉及到一个概念,叫「惯性系(inertial frame of reference)」。在惯性系中,不受外力时,一切物体总保持与参考系的匀速直线运动状态或相对静止状态。

这很符合我们的生活经验。你坐在一架四平八稳的飞机上,如果不打开窗,你是无法判断究竟飞机是停在跑道上,还是匀速直线飞在半空中的。哪怕你开创看到云在身边飘,你也可以说这是云在匀速直线运动,而非飞机在飞。所以,伽利略说,所有的惯性系都是等价的,无法判断哪个惯性系是绝对静止的。

这个狭义相对性原理的意义在于,你在一个惯性系下弄出的公式,在别的惯性系下可以直接套用。这是不是让生活简单很多?

但问题就出在这。仔细看看刚刚对概念「惯性系」的描述:「在惯性系中,不受外力时,一切物体总保持与参考系的匀速直线运动状态或相对静止状态。」

你多读几遍,会不会发现有点不对劲?嗯,爱因斯坦也发现有点不对劲。

如果要说一个物体不受外力,就要证明它是惯性的;如果要说一个物体是惯性的,就要证明它不受外力。也就是说,「不受外力作用」和「惯性系」是相互定义的。

这不是笑话吗?我叫胡天翼,胡天翼的胡,胡天翼的天,胡天翼的翼。如此精妙的物理学定律建立在这个「循环定义」逻辑上面,是不是很豆腐渣?这搞得爱因斯坦心里虚得慌。

狭义相对论还有一个问题。既然理论的基础建立在惯性系下,那么该理论自然只适用于惯性系,一有个加速度就不好用了。这相当于爱因斯坦的理论还不如伽利略的水平啊。这让爱因斯坦也非常头疼,所以他豁出去也要搞一个适用面更广,可以从天入地,从惯性系到非惯性系,把伽利略、牛顿到爱因斯坦全面兼容的理论。于是,打造广义相对论的大工程开始了。

非惯性系
解释一下什么是非惯性系。司机一个急刹车,车上的乘客定力再好也得往前冲。这是因为原来乘客在车上保持这匀速直线运动,一下子受到一个反方向加速度,上身原来的运动状态无法保持,于是就朝转方向继续运动了一段距离。这是初中物理知识。

牛顿对此解释是,让你人往前冲的是一种叫「惯性力」的东西。惯性力的大小和加速度大小以及你的惯性质量成正比,算法是 F = -MA。负号代表加速度与物体运动速度相反。

引力怎么办?
引力一直是物理学家很头疼的概念。我们提过,牛顿搞出个万有引力公式,好用得不得了,可就是不能解释清楚引力是怎么回事。爱因斯坦的狭义相对论研究的是电磁力,这就是我们平时最熟悉的摩擦力、弹力之类的。而当时强力和弱力还没发现,所以四大基本力就剩引力。

牛顿对引力的描述和爱因斯坦的狭义相对论有冲突。牛顿说引力无处不在,可以把两个物体拉近,而且物体质量越大,距离越近,这个力就越大。但经过相对论洗脑的我们知道,距离这个东西,是说不清楚的呀。参照系不同,距离也不一样,那还怎么算呢?而且,引力在牛顿看来,是「超距力」,瞬间作用,不用任何传递时间——这不是比爱因斯坦认定的,宇宙速度极限,光速还快吗?

牛顿理论一而再再而三地和爱因斯坦理论发生冲突,小青年阿尔伯特能忍?「肯定是牛顿错了嘛!」可究竟该用什么理论来替代它,确实让爱因斯坦愁死了。

受到法拉第「磁场」的启发,爱因斯坦把引力视为一种场。我的初中物理老师说,当物理学家解释不清楚一个东西时,就会起名叫「场」。这说法确实有点玄,但理解起来不难。就像人的气场,质量物体的存在也会布下一个场,你一靠近,就会受到影响。

为了进一步描述引力场,爱因斯坦开始思想实验。

设想一个完美的电梯在地球上空停止着,里面的实验员看不见外面,只能靠测量和感觉。他看到电梯里东西安稳地落在地上,重力测出是重力加速度 9.8,于是判断电梯受到了地球的引力作用。判断很准确。

接着,我们切断电梯绳索,让电梯自由下落。此时电梯里的东西和实验员都处于失重状态,飘在天上。这时,实验员会判断,此时电梯不受到地球引力作用。但其实电梯恰恰受引力作用而下落,是不是?不过我们不能说实验员蠢,因为他这样判断确实是符合观测情况的。

也就是说,在自由下落参考系下,加速度下落可抵消引力场,此时引力仿佛消失了。

现在,我们把电梯放在太空中,也就是一个没有任何引力场的区域。这时候电梯里人和物都是失重的。然后,我们给电梯底部一个推动力,让加速度提高到 9.8。于是,实验员看到东西都落到了地上,测出加速度等于地球重力加速度,于是判断,我在受地球引力作用,落到地上是因为受到惯性力。这次他的错误判断仍然值得原谅是不是?

明白了吗?这说明,惯性力等于引力;加速度等于引力场。这就是广义相对论的「等效原理」,是叩开广义相对论大门的敲门砖。

在前文中我们提过惯性质量等于引力质量,但没有能好好解释为什么。在爱因斯坦之前,物理学家们也没好好地去琢磨。现在我们都能解释了:因为惯性质量等于惯性力,引力质量等于引力,而惯性力等于引力,所以惯性质量等于引力质量。

因为等效原理很重要,所以有必要写得严密一点:

重力场与以适当加速度运动的参考系是等价的。在任何一个时空点上都可以选取适当的参考系,使一切物质的运动方程中不再含有引力项,即引力可以局部地消除。如果认为这种消除了引力的参考系是惯性系,那么,等效原理告诉我们,在任何一个时空点,一定存在局部惯性系。

这里得解释一下为什么说引力可以「局部地消除」,而不是彻底消除。

因为引力的方向有无数个。北京人受到的引力方向和纽约人受到的引力方向都是指向地心,但两条线的方向几乎是相反的。刚刚设想的电梯在受重击下落时,电梯不同点受到的重力方向也是不同的,只不过差距很小罢了。差太远的加速度参考值没发消除,这就是为什么说只能局部被消除的原因。

有高等数学训练的同学可能马上会意识到,这样间距很小,又连续地把引力场一小段一小段消除的计算,完全可以用微分来算啊!没错,这就是在前文中为什么我们要特别写 dx, dy, dz 的原因。伏笔千里,用心良苦呐。

当我反反复复看了四五遍终于明白爱因斯坦的思路后,完全跪下了。不知您是不是被彻底征服了?如果没有,请再回过头细读一遍,然后看我接下来的概括。

爱因斯坦在狭义相对论里很好地解决了惯性系下的问题,但是非惯性系下没搞定。非惯性系下引力又是一个很难搞的东西,因为牛顿前辈说这东西传播力的速度是无限的,而且物体间的距离是恒定的。尽管爱因斯坦坚信这两个说法都是胡扯,却一时拿计算非常精准的万有引力公式没办法。后来,他用自己惊人的脑洞,凭空想出了解决办法。

首先,他用引力场的概念描述引力,把牛顿那种引力观念给拔掉,为自己心爱的,永远最快且不变的光速扫清障碍。接着,他推论出引力等价于惯性力。寻找一个合适的参考值,调节引力大小,用微分计算把惯性力干掉,换成引力。这样一来,没有了惯性力,就可以把非惯性系下的惯性力当成引力来考虑,活生生把非惯性系下的问题,拉到惯性系下来计算。这下,狭义相对论就能用了!

战术大师爱因斯坦:「把强大的敌人拆解开,再将其拉到自己的层次下,最后用自己最擅长的手段干掉它。」

鏖战广义相对论——「在我的一生中,还从来没有这么艰难地奋斗过。」
爱因斯坦用八年时间构建广义相对论,艰辛程度异常,以至于他在和朋友的书信中如此说道:

「在我的一生中,还从来没有这么艰难地奋斗过。而且我已经对数学充满了敬佩,她那精妙的部分至今在我简单的头脑中还只能认为是一种奢望。」

数学成为爱因斯坦智商几乎难以逾越的障碍。他希望做到把牛顿的万有引力公式引入到一个不受参照系影响的公式中,又能完美地展现时空弯曲的影响。究竟这个公式难到什么程度,请听我慢慢道来。

在做数学题之前,爱因斯坦先在理念上打破了常规。他想:伽利略证明了物体自由落体下落的等时性原理,那么如果我去抛不同物体,走出的路径是不是也应该是一样的呢?显然是。牛顿说这个抛物线是因为引力;而我觉得这个引力其实是地球的巨大质量造成了周围时空的弯曲,以至于物体沿着弯曲的时空走的最短路径而已。

爱因斯坦就这样,直接把引力的概念给颠覆了。把引力看做时空弯曲的结果,是一大突破。也可是「弯曲」这个词语,成了爱因斯坦前进道路上最大的梦魇。

坐过飞机的人都会注意到,飞机的航线从来不是直线,而是一条曲线。因为地球是圆的,所以不飞曲线就偏了啊。不信,你把上海到悉尼两点在平面地图上画出来,然后再到地球仪上画出来,看看两条线是不是不一样?

如果只是这么个二维曲线,爱因斯坦就算数学再差,也可以轻松搞定。可他面对的是四维时空,还是弯曲的。

三位救星
一方有难,八方资源。拯救爱因斯坦的第一个人是他的老师,闵可夫斯基。老师生前搞出一个闵可夫斯基空间,对付的就是四维时空。公式如下,其中 x4 代表的就是时间轴:

我们生活在四维时空里,但想象四维时空不太容易,因为我们画不出来。此时我们可以想象:一根轴是 X,垂直于 X 的是时间 T 轴。如果一个物体原地不动,那么这个物体在四维时空轴上的轨迹是一路沿着 T 轴向上——因为除了时间在流逝,其它都没动。接下来让这个物体朝 X 轴匀速运动,那么这个轨迹变成一条斜线。如果让它加速运动,轨迹就变成了曲线。

接着我们把 Y 和 Z 轴都加进来,虽然 T 轴没地方放了,但你可以想象 T 永远指着纸面上方。就算你想象不出来,也应该能理解这个思路吧?在这样的四维时空中运动的轨迹线,闵可夫斯基称之为「世界线」。

地球的世界线是这样的:如果把太阳作为不动的原点,只在时间轴走一根直线;地球跟着这个时间轴在走,同时要绕着太阳转,所以地球就绕着这个时间轴在螺旋转。这样的路线看起来很复杂,其实对地球来说是最短的路径,原理和飞机航线是一样的。

如果你觉得理解这些已经很费脑子了的话,那么请洗个脸,清醒一下头脑,更复杂的来了。

闵可夫斯基当年受到了学生的狭义相对论启发,创造了这个空间,但本质上仍然是一个不受引力影响的立体空间。但因为广义相对论中引入了引力的因素,所以时间和空间被弯曲,这下这套空间理论就又不够用了。大家已经知道了,爱因斯坦数学不好。如果是牛顿,他会直接创造一套新的数学工具来解决问题,就如用微积分解决变速运动问题时一样。

第二个救星来了。爱因斯坦的同学格罗斯曼告诉他,最近出来个新的几何,专门研究弯曲空间——黎曼几何,由黎曼、罗巴切夫斯基、里奇等人创立的。爱因斯坦高兴坏了,拿起论文一通研究,最后发现没法用。因为他们研究的是弯曲空间的几何,不是弯曲时空的几何。因为他发现如果套到自己的公式里会在时间轴出现一个负号,这就很难解决。

爱因斯坦需要第三位救星。

在第三位救星登场之前,我们来学一点点爱因斯坦都为之头疼的黎曼几何。看不懂没关系,能明白多少是多少。了解一个概念:曲率。

曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。

上面这张图里,角 α 是在曲线上选取两个点画切线形成的夹角。如果夹角越大,说明这个曲线弯曲程度越大。就算上面这段定义看不懂,最后一句总归明白的吧?

难的地方在于我们对付的是不是这个二维平面,而是四维时空。如果是二维曲率,不算难:想象一个围棋盘,有人把它掰弯了,现在需要你用数学表达出这个棋盘纵横轴的弯曲程度。如果是三维曲率,我们也勉强能理解:想象一个立体魔方,有个人把它掰弯了,现在要你用数学式表达这个魔方内外部各处的弯曲程度。可如果是四维时空,怎么办?这已经不是人脑可以想象的了。

除了寻找第三位英雄搭救,爱因斯坦已经无路可走了。

里奇救驾
我们需要对付的不是平面,而是四维时空的弯曲。最头疼的一关就是四维时空的曲率,关于这个曲率,实在太过复杂,因为它是一个「张量(tensor)」。

我们学过「标量」和「矢量」。标量就是数值大小,而没有方向,部分有正负之分的物理量。比如气温 23℃,质量 50KG 之类的。矢量就是既有大小又有方向的量。比如速度、加速度、力这些。拿之前提过的例子:「现在是北京时间2016年4月27日上午8点28分32秒,我正在北纬27度59分10秒,东经86度55分22秒,海拔8600米的位置上。」,它表示某一时刻的位置。如果你以家为原点,就可以在四维空间中画出一个「X,Y,Z,T」的坐标,这就是一个四分量的矢量。

在爱因斯坦要对付的空间里,张量是一个矩阵。就算没学过矩阵,也总用过 Excel 吧?举一个生动形象的例子。如果我们要用「酒色财气」四个因素描述一个贪官的贪腐程度,并表示出它们两两之间的互为影响,我们可以画出这样的矩阵:

大家发现,对角线上的元素都是自己和自己相乘,以这条线为轴,两边的元素还有互为相乘的关系。

如果判断一个贪官的贪腐程度呢?当然是数值越大就越严重。但不同的分量权重应该不一样,比如「酒」的权重可能就比「财」低;「气」的权重可能比「色」低。所以我们得给每个分量定一个权重,又叫「度规」(还记得吗?)。

要是有这么个世界,贪官都是只贪一个,贪酒的不贪财,贪财的不贪色。那么只有对角线上的分量有度规「1」,其他的分量度规都是「0」。这就是一个平直空间的贪官世界。这样的矩阵就很方便,即:

「酒^2 + 色^2 + 财^2 + 气^2」

这是不是很像闵可夫斯基空间?

在实际生活中,有些贪官原本一身正气,但一喝酒就犯糊涂,容易腐化堕落;或者一看到美女就把持不住,跟容易贪财。这不就对应着其他元素之间发生作用了吗?所以,在弯曲时空中,其他分量也需要非零的度规。为了更简洁地表示四个元素之间相乘,数学上有一个简单的表达方式:

里面 uv 两个希腊字母,表示数值 1-4。只要看到这两个希腊字母,你就知道,这是广义相对论——高端洋气的公式。

这个度规张量用来描述空间中很短线段的长度二阶张量,它定义了坐标系中如何定义曲线的长度。在四维时空中,度规张量是用来衡量四维时空两个临近事件之间的间隔。

大家都已经感受过了。四维时空弯曲,会把再简单的问题给弄复杂。还拿酒色财气来说吧,除了两两相互影响,还可能三者之间影响,甚至四个交缠影响。这下我们就把二阶张量扩展到三阶,四阶张量。

四阶张量是啥样的?是个超立方体,超出人脑的理解能力。我们叫它「黎曼曲率张量」,简称「曲率张量」,或者「张量」或者「R」。4^4 有256个元素,非常复杂。

要是你没有晕,那很了不起;如果你晕了,不要灰心,说一个好消息:这个曲率不受坐标系影响,自给自足。也就是说,爱因斯坦苦苦找寻,不受坐标系影响的关键系数已经找到了!

有了这个重大突破,爱因斯坦要对付的就是凑答案了。我们知道,爱因斯坦在狭义相对论里搞出了个非常厉害的公式 E=mc^2,人称「质能守恒公式」。具体这个公式是怎么回事,我没法解释了,否则又是好几万字。这个公式关键在于,爱因斯坦发现,质量和能量是一回事。而在广义相对论中,爱因斯坦发现,或者说猜想,质量能量越大,空间弯曲程度也越高,所以他能在两者之间建立一个等式。他想要凑的,就是怎么凑出一个像质能守恒公式一样公式。

问题还是出在四阶张量上。一边是几个连方向都没的分量,一边是四阶张量,档次差太多了,没法放在一起。所以爱因斯坦需要把质量和能量弄成张量,才能对接。

他鼓捣了一通,先把那几个分量搞成有四个分量的「能量-动量矢量」,但离有256个分量的四阶张量还是太远。于是再接再厉,继续拔苗助长,加了一大堆料,愣是从矢量(一阶张量)拔到「能量-动量张量(T)」(二阶张量)。可还是不够啊!还差着二阶,怎么办?接着拔!

这真不行——再拔就拔断了。于是他回过头去压榨那个四阶黎曼张量,争取把它压到二阶和前者会师。可这下太难了,因为爱因斯坦数学不好。

正当爱因斯坦眼看着要搞定却又一筹莫展的时候,第三位救星来了。他叫里奇,一个数学家。里奇在研究黎曼几何的时候,发现四阶张量可以压缩到二阶,搞出了个「里奇张量」。爱因斯坦若没遇到里奇的论文,估计也搞不出广义相对论。

然而!眼看临门一脚就要轰出一记世界波之际,第四个难题又来了。

最后一个数学家
爱因斯坦已经把里奇张量都搞定了,那只要在里奇张量和能量-动量张量之间建立等式联系就行了呀,最多前面凑一个系数。于是他搞出来以下的方程:

可惜,他检查了好几遍之后发现,这个方程还是受参照系影响。爱因斯坦崩溃了,他几乎认定这个弯曲时空里压根就不存在这样的东西。没办法,先就这么办吧。于是他把论文发表了,而且这个方程已经能很好地解决之前提到的「水星近日点进动问题」,宣告了牛顿万有引力定律的错误。

如果是一般人,能获得如此名垂青史的成就,就此生无憾了。但爱因斯坦不是一般人,他心念的是物理学的巅峰,寻找完美的,不限制于参照系的公式。

1905年6月,爱因斯坦前往德国哥廷根大学讲座,遇到了上个世纪最伟大的数学家,哥廷根学派大师大卫·希尔伯特。遇到这样的数学天才中的天才,爱因斯坦当然抓紧求教。天才听完后,三言两语就让爱因斯坦茅塞顿开,重新开工继续钻研。

希尔伯特也被这半成品的广义相对论给迷住了,撩起袖子也开始鼓捣。结果刚上手的天才比搞了八年的爱因斯坦早了五天弄成了方程。这就尴尬了,究竟这广义相对论究竟该算谁的呢?

希尔伯特仁义,是个讲究人。他公开表示这个广义相对论归功于爱因斯坦,而非一个数学家。

这个包含了复杂的,从四阶张量经过缩并后形成的里奇张量,还通过减去标量 R 而获得不受参照系影响的神一般的加持,最后还包含了牛顿的系数 G,也就是说,在一定情况下,它能蜕变成为我们熟悉的万有引力公式。这样的方程,有传承有突破,简洁优美,让人不得不赞叹数学的崇高。

量子力学的奠基人之一波恩如实评价:「(它是)人类思考自然的最伟大壮举。哲学思辨,物理直觉,和数学技巧最令人惊艳的结合。」

这个带下角标方程其实是十个方程的组合,是二阶非线性偏微分方程组。这个方程我们是没法求出通解的,只能求出特解。它就像一个蕴含着宇宙规律的宝藏,每次挖出一个特解,就是一次观念革命,以至于连爱因斯坦本人都被吓到。比如史瓦西求出了一个特解,算出了黑洞。要知道爱因斯坦一直不相信有黑洞,但没想到有人通过求自己的方程求出了个黑洞,让爱因斯坦无话可说。后来前前后后五个黑洞被算出来了。

方程里算出的引力波
我们洋洋洒洒近两万字打算谈引力波,现在才刚刚把它拿出来。引力波也是从这个方程中算出来的。怎么算出来的呢?

我们可以理解,如果一个物质质量非常大,大到把时空弯得很厉害,就变成了黑洞了。如果一个物质质量非常小,小到对时空弯曲忽略不计,那就是我们地球上的状态,直接可以用牛顿万有引力公式算了。那引力波就是介于非常大和非常小之间的一个状态,以至于这个方程蜕变成为一个波动方程的程度而算出来的。这就是爱因斯坦方程中所预言的引力波,而且它以光速传播。

由于引力波在弱场下(例如太阳)振动幅度极小,所以人类无法探测,所以牛顿力学定律管用了几百年。而如果我们研究对象是黑洞的话,情况就不同了。如果两个黑洞互相围绕对方高速旋转,周围的空间被弯曲得非常厉害,而且弯曲得很有规律,直到两个黑洞合并,这不就是引力波(曲率波)吗?这样的引力波肯定非常强,所以人类就有机会探测到。

有质疑精神的人可能会问:LIGO 发现的东西凭什么说肯定是引力波?甚至说是双黑洞合并造成的引力波?之前我们既没法观测到黑洞,也没法观测到引力波,怎么现在可以下这样的判断呢?

原因是这样的:在观测到引力波之前,LIGO 已经通过运算推演出双黑洞合并形成引力波的波形图,这个波形图有其自身特点。之后当他们真的发现了引力波时,对照自己当时推算出的波形,两者波形几乎一致,所以他们就下了发现引力波的判断。

这样的判断不能说没有道理,但有个缺陷:如果科学家们用计算机推算出的波形图的特殊性不够大的话,判断就不准确了。然而,科学从来就不会宣称有「绝对真理」存在的,LIGO 的科学家们,包括主流科学界目前有足够大的信心可以下此判断,也随时准备着遇到强有力的证据证明自己的错误。这就是科学的证伪精神。

小插曲 – 引力波和引力子
有些科普文章粗略地把引力波的发现视为引力子被发现的间接证据。这样的说法是不妥的。引力波属于广义相对论范畴的概念;引力子是量子力学中的假说。后者认为,万有引力是通过引力子来传递的。如果强行等价,就要将时空量子化。

有意思的是,把时空量子化的事情物理学家们早就做过了,而且出了一些成果。以下内容非常颠覆常识,大家请开脑洞。

时空量子化的基础是认为时间和空间是不连续的。例如,在圈量子理论物理学家看来,如果你平分一个空间,注意,是空间,终会分不下去的。他们推算出,当分到10^(-99)立方厘米的时候,你就分不下去了。超弦理论物理学家们也推算出空间,甚至时间都是不连续可分的。假如他们说的是正确的,那么我们的四维时空就是由一个个小的超立方体拼接而成,引力子就是立方体的承载物,引力波造成的弯曲就是超立方体的弯曲。于是,引力波和引力子就沾上关系了。但这一切都是假说,未被证实。

未来的路
如果需要更强有力的证据证明引力波,可能需要做到这样:科学家们预先推测出宇宙中某处曾有两个黑洞发生合并,并推算出其引力波到达地球的时间和大小。到时候全球就像等直播一样等待波形图的出现以验证。若图形一致,则彻底宣告人类发现引力波。可惜现在的科学技术还没能达到这个程度。

在探测引力波的道路上不止美国在研究,法国和意大利;英国和德国都制造了引力波探测器,但不如美国那么大,所以这次没有发现。日本印度也有这样的计划,中国的「天琴计划」规模也非常大:直接发射卫星在太空中探测,更加精确。不过我们要等20年后才能完工。

除了探测引力波本身的工作,在理论层面,我们也有很多可以继续推进的。爱因斯坦的广义相对论照亮了之后一百年的物理理论最前沿的发展道路,但它仍然不够完美。

我们在介绍引力波的新闻中会看到「引力波弥补了爱因斯坦广义相对论最后一块拼图」的说法。爱因斯坦根据广义相对论作出了四个预言:引力场中的光线偏折;引力红移;黑洞存在;引力波存在。前三个都已经被直接或间接证实,就剩下最难探测的引力波一直未被发现。如今 LIGO 的发现确实填了最后一块拼图。

虽说可喜可贺,但毕竟广义相对论才一共只有四个预言,解释力有限。这不是因为广义相对论的理论水平不高,而是因为那个引力场方程实在太难求解,而且要求太高,动不动就要接近光速,要黑洞级别的强场下才能求解。人类技术还跟不上如此高的要求。

在爱因斯坦之后,理论物理学家还搞出来几个新的引力理论。标量-张量理论、标量-矢量理论、双度规理论等等。这些理论的区别主要在度规的选择上不同,至于谁的理论更好,就看谁的预言更精确。以目前有限的实验观测数据来看,大家成绩都不错,只有等更加精确的数据出炉才能一较高下。

即便爱因斯坦的广义相对论百年之后仍熠熠生辉,但作者本人很清楚,人类离宇宙密码还有很遥远的距离。广义相对论只考虑了时空弯曲的情况,却没有涉足时空扭曲的状态。影响时空几何形态的不仅有物质质量,物质自旋也会影响时空,这也是爱因斯坦没有考虑到的。因此,爱因斯坦的方程还只是某个更普遍方程的退化,一个特殊解,尽管这个方程已经是一个复杂到一百年才只能求出几个解的东西了。要了解这些东西,就要去学习「爱因斯坦-杨振宁方程」了。

知识征程无止境,但整个关于引力波的旅程我们就走到这里吧。